Prečo je matematika dlhodobo postrachom detí? Mnohí ju nenávidia, pretože ide o kopu zbytočných algoritmov, postupov a vzorcov, ktoré v praxi nikdy nevyužijú.
Mnohé učebnice matematiky sú písané tak, že sa najskôr vysvetlí teória, potom nasledujú vzorovo riešené príklady a následne precvičovacie úlohy. Pri tomto prístupe často chýba dôležitá časť vyučovania matematiky – objavovanie zákonitostí a vzťahov.
Ak chceme napríklad naučiť sčitovať zlomky, tak pri prvom prístupe učiteľ vysvetlí žiakom, že si majú nájsť spoločného menovateľa, upraviť naň oba zlomky, odpísať ho a čitatele sčítať. Pri druhom prístupe učiteľ žiakom nevysvetľuje, ako sa zlomky sčitujú, ale položí im otázku: „Ak zjem polovicu čokolády a ty zješ tretinu z nej, aká časť čokolády nám ostane?“ Nič viac im k tomu nehovorí.
Ako deti reagujú?
Deti si prirodzene nakreslia čokoládu, vyznačia si polovicu, tretinu a postupne prichádzajú na to, aká časť ostane. Deti rýchlo zistia, že v tomto prípade je dobré vyznačiť si šestiny čokolády. Takáto úloha s čokoládou je ukážka jedného modelu. Potom sa môžeme opýtať otázky na časti pizze, paličky – úsečky.
Keď deti skúsia vymyslieť sčitovanie zlomkov na viacerých modeloch, tak sa tieto objavy zhrnú a deti často samé povedia, že treba zlomky upraviť na spoločný menovateľ. Až v tejto fáze sú podľa mňa deti pripravené na to, aby si sčitovanie zlomkov precvičovali. Takéto objavovanie, diskusia a hľadanie súvislostí by malo sprevádzať každú časť matematiky, to je totiž ten často spomínaný rozvoj logického myslenia. Táto fáza objavovania matematiky akoby z učebníc vymizla.
V poriadku, ale je sčítanie zlomkov je v bežnom živote potrebné? Zdá sa, že ide len o problém, ktorý trápi maximálne učiteľa v triede.
To je dobrá otázka. Kedy ste potrebovali sčítať napríklad 1/12 + 1/8? Predpokladám, že takmer nikdy. So zlomkami sa človek môže v bežnom živote stretnúť, ale ako s časťou celku, menej so sčítaním alebo delením zlomkov. Mnohé štáty učia zlomky tak, že naučia základnú ideu a potom sa snažia operácie so zlomkami prevádzať na desatinné čísla a výsledky udávať s danou presnosťou. Samozrejme, k vyššej matematike sú zlomky potrebné, ale vedieť s nimi pracovať s danou presnosťou je tiež potrebné. To je jedna cesta.
Iná cesta je učiť kvôli zlomkom násobky, delitele, prvočísla, kritériá deliteľnosti. Podľa mňa má byť pre všetkých povinný základ – práca so zlomkami s danou presnosťou. Zároveň si môžu školy pridať do učiva aj prvočísla, najmä ako prípravu na ďalšie gymnaziálne štúdium.
Ale zlomky nie sú jediný príklad. Pamätáte si napríklad vzorec na výpočet koreňov kvadratickej rovnice? Ak kvadratickú rovnicu nepotrebujete k svojej práci, tak si ho s veľkou pravdepodobnosťou nepamätáte. Takže napríklad ten vzorec sa neučia žiaci preto, aby si ho celý život pamätali, ale učia sa ho preto, aby pri jeho objavovaní hľadali súvislosti, učili sa argumentovať a podobne.
Ak im ho niekto iba nadiktuje a precvičí na pár úlohách, tak sa ho žiaci naučia, chvíľu ho vedia a potom ho zabudnú. Týmto spôsobom sa však logické myslenie nerozvíja, trochu sa rozvíja pamäť. Ak chcete učivo objavovať, potrebujete na to čas, strávite tým niekoľko vyučovacích hodín, potom ďalšie potrebujete na utvrdenie a precvičenie. Keby som s deťmi neobjavoval, opticky síce ušetrím čas a môžem pridať viac učiva, ale súčasne by sa nedialo na matematike to najdôležitejšie.
Áno, ale podľa toho čo vravíte, v tom je problém.
Postupne bolo v matematike toľko učiva, že samotní učitelia vnímali, že sa to nedá stihnúť. Na objavovanie nebol takmer žiadny čas. V tomto období sa začínalo s externým testovaním a výsledky žiakov boli horšie, ako očakávania učiteľov. Aj na základe požiadavky zdola na redukciu učiva sa obsah vzdelávania upravil, v učive matematiky sa ponechali dôležité poznatky, uplatniteľné v reálnom živote. Vznikol tak priestor na objavovanie, rozvoj logického myslenia, strategického myslenia, tímovú prácu. Dodnes je od niektorých učiteľov počuť, že všetko učivo stále nestíhajú prebrať. Iní učitelia zase hovoria, že učiva je málo.
Je to dôsledkom redukcie učiva v roku 2008. Pomohlo?
Redukcia sa málo komunikovala zo strany ministerstva. Riešením však nie je návrat k učivu spred roka 2008, ale možnosť, aby si školy mohli učivo upraviť, doplniť, rozšíriť. A súčasný stav – štátny vzdelávací program s predpísaným minimom za každý stupeň a školské vzdelávacie programy, v ktorom si školy môžu učivo rozšíriť alebo presunúť, tejto možnosti vyhovuje.
Teda niektorí učitelia chcú návrat do čias, keď mala škola predpísané učivo po ročníkoch a učilo sa veľa učiva? Aký to má zmysel? Myslia si, že čím viac učiva, tým viac vedomostí?
Vnímam tlak od niektorých učiteľov, aby sa tam vrátilo učivo, ktoré vypadlo. Majú na to často paradoxné zdôvodnenie: Tvrdia, že deti sa neučia a len keď vrátime učivo, sa budú učiť. Dobre. Ale to znamená, že ich nedokážu naučiť ani to, čo tam ostalo? Tvrdia, že matematika má rozvíjať logické myslenie. Súhlasím. Ale aby sa to dialo, musí byť dostatočný čas na objavovanie učiva, nemôžeme byť učivom zahltení a chápať ho ako cieľ.
Bez ohľadu na rozsah učiva, je vôbec potrebná vyššia matematika? Ak chcem hypotéku, najmem si poradcu, alebo si ponuky porovnám. Fungujú počítače, webové kalkulačky, mobilné aplikácie, ktoré umožňujú uľahčovanie mnohých rozhodnutí.
Ak vám pracovníčka nebankovej inštitúcie tvrdí, že budete platiť nízku splátku, ešte to neznamená, že je pôžička výhodná. Ak by sa v škole venoval dostatočný čas napríklad finančnej matematike, viac ľudí by sa orientovalo vo výhodnosti ponúk bez toho, aby boli odkázaní na finančného poradcu alebo reklamu. Navyše, to, že vám mobil alebo excel vypočíta splátku hypotéky, je fajn, ale aj to treba deti naučiť.
Schopnosť zmysluplne využívať technológie je v dnešnom svete dôležitá. Práca s počítačom, mobilom, hľadanie pozadia, ako aplikácie fungujú a ako sa napríklad splátka hypotéky vypočíta, však zase stojí čas. Ale užitočný čas. Je to potrebné aj pre deti, ktoré už ďalej nebudú študovať matematiku. Samozrejme, ak ide žiak z matematiky maturovať, treba s ním ísť viac do hĺbky, má ovládať toho z matematiky viac. Aj na to sú potrebné disponibilné hodiny.
Nemyslím si, že všetkých treba učiť maturitnú matematiku, ale základ by mal mať každý. Inak sa môže opakovať taký problém ako v Česku počas prezidentských volieb. (Pozn. red.: Ministerstvo vnútra náhodne skontrolovalo hárky prezidentských kandidátov a troch kandidátov vyradilo. V procese kontroly bol zakopaný matematický rébus. Aby úradníci nemuseli kontrolovať všetky podpisy, vzali dve vzorky a z nich určili percento „mŕtvych duší”. Chybovosť v týchto vzorkách sa potom aplikuje na celý zoznam a vypočítaný počet zlých podpisov sa škrtne. No úradníci podiel chybných hlasov nespriemerovali, ale spočítali. České ministerstvo si chybu nepriznalo a prípad šiel až na súd.)
Mohol by som povedať, že práca s číslami rozvíja logické a obrazové myslenie a tvorí základ pre vyššiu matematiku.
Učím prvočísla kvôli zlomkom alebo kvôli logickému mysleniu? Ak sa naučia naspamäť kritériá deliteľnosti dvomi, tromi, šiestimi, rozvíja sa ich logické myslenie? Alebo ich učí logicky myslieť, ak tie kritériá objavujú, bádajú, hrajú sa s číslami. A keď hľadáme hlavné myšlienky, ako sa vypočíta splátka hypotéky a potom si ukážeme, ako to počíta excel, nie je to užitočnejšie pre budúceho právnika, lekára, robotníka? Učenie matematiky sa prehltilo obsahom na úkor rozvoja logického myslenia. Vraví sa, že matematika učí deti logicky myslieť. To je pravda, ale nie tá „receptová“ matematika.
Je to jeden z dôvodov, prečo dopadlo testovanie deviatakov tak zle? Priemer v národnom testovaní bol z matematiky len 54,7 percent.
Nie je pravda, že je to nízka úspešnosť v testovaní. Zadanie pre tvorcov testu – odborne sa to volá aj špecifikácia testu a dá sa nájsť na webe Národného ústavu certifikovaných meraní vzdelávania (NÚCEM) – bolo, aby test mal úspešnosť medzi 50 a 60 percentami. Takáto úspešnosť je zvolená aj kvôli tomu, aby test dobre zoraďoval šikovných aj menej šikovných žiakov.
Ak by bol test pripravený tak, že jeho úspešnosť by bola okolo 80 alebo 90 percent, tak by slabo zoraďoval tých šikovných – nebolo by medzi nimi vidieť rozdiely. Naopak, ak by jeho úspešnosť bola napr. 20 percent, zmazali by sa rozdiely medzi menej šikovnými. Takže hovoriť o tom, že žiaci napísali test zle, lebo ho napísali iba na 54 percent, prípadne porovnávať výsledky z minulého roka s tohtoročnými, nemá opodstatnenie. Žiaľ, často sa táto pomerne zložitá problematika testovania zjednodušuje na úroveň porovnávania priemernej úspešnosti. Myslím, že by bolo lepšie, keby sa vyhodnoteniu testovania venovali odborníci.
Dobre, ale v medzinárodnom porovnaní PISA sa dajú identifikovať problémy a postupné zhoršovanie slovenského školstva. Prvýkrát od roku 2003, odkedy sa Slovensko do medzinárodného testovania zapája, sú výsledky slovenských žiakov vo všetkých troch oblastiach (v matematickej, čitateľskej aj prírodovednej gramotnosti) výrazne nižšie, ako je priemer krajín OECD.
PISA sa netvári, že vie otestovať všetko. To, čo vychádza z PISA testovaní v minulosti aj teraz je, že naše deti sú dobré v type úloh, ako vyrieš rovnicu, premeň jednotky – teda v algoritmických úlohách. Menej sa im darí v úlohách, kde je napríklad text a majú si z neho vybrať informácie, ale nie je jasné, ktoré. Ak nemajú algoritmus, naše deti často zlyhávajú.
Okrem toho PISA spraví rebríček krajín, čo je relatívne porovnanie. To, že sme v rebríčku, môže znamenať, že sme sa zhoršili, ale môže to znamenať aj to, že sme sa zlepšili, ale menej, ako ostatní. Zhodnotiť testovanie by nemalo skĺznuť do porovnávania čísel. Správa PISA má niekoľko desiatok strán a budem sa opakovať: interpretácii výsledkov testovaní v školstve by sa mali venovať odborníci.
Čo sa dá robiť s tým, aby sa logické myslenie žiakov zlepšilo a aby sme v medzinárodnom meradle poskočili vyššie?
Na matematike by sa deti mali učiť pracovať samostatne, ale aj v tímoch. Tým by sa posilnila schopnosť diskutovať, argumentovať, kriticky hodnotiť myšlienky iného. Mali by riešiť problémy, nad ktorými by mohli sami premýšľať. Mali by sa učiť používať internet a iné zdroje, aby vedeli rozlíšiť informácie a vybrať tie správne. Nedá sa naučiť riešiť problémy tak, že im dám algoritmus, ktorý sa majú naučiť, a ten si precvičia. Dá sa to len tak, že budú riešiť veľa pestrých problémov.
No a ako je to dnes?
Niektorí učitelia volajú po tom, aby sa povinne učili niektoré typy slovných úloh: slovné úlohy o spoločnej práci („Traktorista zorie pole za dva dni, jeho kolega za tri dni. Ako dlho im to bude trvať spoločne?“), o pohybe („Z mesta A vyrazí auto o desiatej rýchlosťou 50 km/h, z mesta B o jedenástej rýchlosťou 60 km/h. Kedy a kde sa stretnú, ak sú mestá od seba vzdialené 270 kilometrov?), o zmesiach („Koľko percentný roztok vznikne, ak zmiešame 1 liter 10-percentného roztoku a 2 litre 20-percentného roztoku?).
Ja si však myslím, že tým by sa žiaci naučili pár typov slovných úloh, a keď sa stretnú s iným typom (či už v testovaní alebo v bežnom živote), nevedia si poradiť. Učiteľ na základnej škole by mal žiaka pripraviť okrem iného aj na život a s takýmito umelými úlohami sa v bežnom živote nestretnú. My sme dali do učebníc nie štyri typy slovných úloh, ale množstvo rôznorodých slovných úloh, ktoré si môžu deti prechádzať. Môžeme si povedať, čo majú úlohy spoločné, ale prísť na riešenie majú sami. Môžeme sa tiež rozprávať o rôznych spôsoboch riešeniach a aj si ich vyskúšať a porovnať, ktoré je kedy efektívne.
V čom je teda problém, čo sa zmenilo, keď tvrdíme, že kedysi bolo školstvo aj vo výučbe matematiky lepšie.
Podľa mňa sa zmenila spoločnosť. V minulosti platilo, že čo sme deti naučili, to sme aj otestovali a výsledky boli tým pádom lepšie. Ale ak dostali problém, s ktorým sa nestretli, nevedeli si poradiť. Myslím, že v súčasnosti sa majú deti v škole pripraviť na rôzne typy problémov, nestačí, keď ich naučíme tri typy slovných úloh.
Hovorí sa, že každý žiak má na niečo iné bunky. Niekto inklinuje k humanitným vedám, iný k matematike, ale práve matematika sa najčastejšie skloňuje ako neobľúbený predmet, ktorý robí žiakom najväčšie problémy. Prečo?
Je to príliš zovšeobecňujúce tvrdenie. Súvisí to podľa mňa s prostredím, v ktorom deti vyrastajú. Ak sú vedené k objavovaniu sveta, bádaniu, čítaniu kníh, tak majú aj pozitívnejší vzťah k vyučovaniu a aj k matematike. Škola má urobiť podľa mňa všetko, aby našla u detí to, čo ich zaujíma, aby ich podchytila a niekam posunula.
Žijeme v šťastnom období, máme sa lepšie ako v minulosti, čo potvrdzujú aj štatistiky. Ak sa chcete v Indii dostať zo slumu, musíte sa vzdelávať a tvrdo drieť. U nás sa prakticky nikde netreba dostávať, pretože všetko máme a keď človek všetko má, nemusí nič robiť. Ak dieťa vidí u rodičov konzum, je lenivšie a je ťažšie ho motivovať. Niektoré deti nevidia význam a zmysel vzdelávania, ale nesúvisí to len s matematikou. Potom je aj mnoho detí, ktoré sa o veci zaujímajú a darí sa im v rôznych predmetoch.
Z testovania PISA vyplynulo, že vplyv nezamestnanosti rodičov na výsledky slovenských žiakov je jeden z najväčších v rámci krajín OECD. Spomedzi všetkých testovaných krajín bolo nepriaznivé sociálne zázemie slovenských školákov jedným z najvýraznejších faktorov, ktorý ovplyvnil ich výsledky. Bohatšie deti si môžu dovoliť rôzne záujmové krúžky, jazykové kurzy a priepasť sa zväčšuje. Tam sa asi rozťahovanie nožníc nedá spochybniť.
Súvisí to s tým, ale bránim sa zjednodušovaniu zložitej spoločnosti. Je tam tak veľa faktorov, že to nie je jednoduché. Myslím si skôr, že je oveľa väčšia korelácia medzi tým, či rodičia svojim deťom čítajú knihy, keď sú malé, alebo im knihy nečítajú. Čítať knihy môžu aj nezamestnaní. Keď rodičia svoje deti nevedú k poznávaniu sveta, ale ku konzumu, tak dieťa nevie, čo so sebou. Keď sa o deti starajú, venujú sa im, je to prvý krok k tomu, aby sa im darilo v škole aj v živote.
Ministerstvo školstva chce znížiť slobodu jednotlivých škôl, chce im prikázať, čo majú učiť v ktorom ročníku, odhaduje, aké odbory budú v praxi žiadané o niekoľko rokov. Čo na to hovoríte?
Kým ministerstvo zareaguje, tak je často už neskoro. Nápady, že ministerstvo podporí nejaký typ stredných škôl, pretože vie, ktorých zamestnancov bude trh potrebovať, nebudú fungovať. Ministerstvo nemôže vedieť, koho bude trh potrebovať o desať rokov, pretože to nevie nikto. Možno taký segment trhu ešte dnes ani neexistuje.
Podľa mňa by mala byť v školách čo najväčšia sloboda. Školy najlepšie vedia, aké majú deti. Či im ponúknu poobede fyzikálny krúžok, lebo majú šikovné deti, alebo kurz základných hygienických úkonov, lebo k nim do školy chodia deti bez základných hygienických návykov.
Ministerstvo by nemalo určovať, že dieťa by malo ovládať dva jazyky a to konkrétne ten a ten, ale malo by určovať minimum. Napríklad, že žiak by mal vedieť jeden jazyk minimálne na takej a takej úrovni. Rovnako by malo určovať len základné učivo vo všetkých predmetoch a ponechať školám voľnosť, aby si ho prispôsobili. Samozrejme, ministerstvo má pripraviť pre školy, ktoré to chcú a potrebujú, niekoľko verzií vzorových školských vzdelávacích programov. Ale ak škola chce ísť inou cestou, mala by mať tú možnosť. Samozrejme, ak zabezpečí prebratie základného učiva.
JÁN ŽABKA - učiteľ matematiky na 1. súkromnom gymnáziu v Bratislave. Je spoluautor učebníc a pracovných zošitov z matematiky pre druhý stupeň základných škôl a členom predmetovej komisie matematiky pri Štátnom pedagogickom ústave.
Viac si o školstve prečítajte v téme Čaplovičova normalizácia v TRENDE 25/2014, ktorý na stánkoch vyjde už vo štvrtok. Kolegyňa Zuzana Petková sa detailne venovala zmenám, ktoré smerujú k posilneniu úlohy štátu, školskej inšpekcie a pokračujú v trende proti súkromným školám. TREND sa k materiálu dostal vďaka dvom zdrojom v rezorte školstva.
TREND 25/2014
